如何求线性变换的值域：两种实操方案
如何求线性变换的值域，优先使用矩阵列空间法与基像生成法，矩阵形式下直接提取变换矩阵的列向量，做初等行变换找出极大无关组，即可得到值域的一组基；抽象线性空间内，把变换作用在定义域的一组基上，得到的基像张成整个值域，再剔除线性相关向量就能化简基，该方法仅适用于有限维线性空间，无限维空间无法通过有限个向量张成值域，不能直接套用这两种办法。
线性变换值域的两种求解方法
你可以根据题目给出的条件，选择对应方法。
| 方法名称 | 适用条件 | 操作步骤 | 优势 |
|---|---|---|---|
| 矩阵列空间法 | 线性变换已经写出矩阵表达式T(x)=Ax | 1.写出变换对应的矩阵A；2.取出A全部列向量；3.对列向量构成的矩阵做行阶梯化简；4.保留主元列对应的列向量，作为值域的基 | 计算流程标准化，适合矩阵计算题，正确率更高 |
| 基像生成法 | 只给出线性变换对应法则，没有写出矩阵 | 1.选取定义域V的一组标准基；2.把线性变换作用到每一个基向量上，得到一组基像向量；3.把基像向量做线性无关筛选，去掉多余相关向量；4.剩余无关向量张成值域 | 不用写出完整矩阵，适合多项式空间、矩阵空间这类抽象向量空间 |
这是最短操作结论。
矩阵列空间法完整操作流程
当T是n维欧式空间上的线性变换，且T(α)=Aα时，值域就是矩阵A的列空间，也就是所有列向量的线性组合集合。你先把矩阵所有列向量写出来，再构造新矩阵做初等行变换，只做行变换不做列变换，找到阶梯矩阵里主元所在的列，原矩阵对应列就是值域的极大无关组，无关向量的个数就是值域的维数，也就是矩阵A的秩。
举个简单例子，若变换矩阵A是3行2列矩阵，化简后两列线性无关，值域维数就是2；如果两列成倍数关系，只保留其中一列即可。
基像生成法完整操作流程
在一般有限维线性空间V中，先选定V的一组基ε₁,ε₂,…,εₙ，线性变换T的值域等于所有T(ε₁),T(ε₂),…,T(εₙ)张成的子空间。你依次算出每个基经过变换后的向量，再对这组向量做线性相关性判定，去掉可以被其他向量线性表示的多余向量，剩下的线性无关向量就构成值域的一组基底。
如果算出的基像全部线性相关，值域就只包含零向量，此时变换的秩等于0。
值域维数核验规则
你可以用秩零度定理核验计算结果，该定理出自高等代数教材标准结论：定义域空间维数=值域维数+核（零空间）维数。算出值域维数之后，再算出零空间维数，二者相加必须等于定义域维数，一旦数值不匹配，说明筛选极大无关组时出现错误。
你还要注意边界限制：只有有限维线性空间才能用这两种方法；无限维空间不存在有限基，无法依靠有限向量张成值域，不能使用行化简找极大无关组的操作。
