如何证明积分中值定理：两种主流证法

如何证明积分中值定理，主流路径分为借助闭区间连续函数介值定理的基础证法、借助牛顿莱布尼茨公式与拉格朗日微分中值定理的变上限积分证法，基础证法适用于教材入门推导，要求被积函数在闭区间[a,b]上连续，积分区间上下限满足a

如何证明积分中值定理：基础证法

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间连续函数最值定理，f(x)在区间内存在最大值M和最小值m，对任意x∈[a,b]，不等式m≤f(x)≤M恒成立。对不等式三边同时在区间[a,b]上做定积分，得到∫ₐᵇmdx≤∫ₐᵇf(x)dx≤∫ₐᵇMdx，计算左右两侧常数积分，化简得到m(b−a)≤∫ₐᵇf(x)dx≤M(b−a)。因为a

记μ=1/(b−a)∫ₐᵇf(x)dx，μ落在f(x)的最大值与最小值之间，再使用闭区间连续函数介值定理，一定存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=μ，替换回去就能得到∫ₐᵇf(x)dx=f(ξ)(b−a)，基础形式的积分中值定理就此得证。

这个ξ在闭区间。

如何证明积分中值定理：变上限积分证法

构造变上限积分函数F(x)=∫ₐˣf(t)dt，f(x)在[a,b]连续时，由微积分基本定理，F(x)在[a,b]可导，且导数F’(x)=f(x)，F(x)自然满足拉格朗日微分中值定理的全部条件。对F(x)在区间[a,b]应用拉格朗日中值公式，存在ξ∈(a,b)，使得F(b)−F(a)=F’(ξ)(b−a)，代入F(b)=∫ₐᵇf(t)dt，F(a)=∫ₐᵃf(t)dt=0，F’(ξ)=f(ξ)，整理后得到∫ₐᵇf(x)dx=f(ξ)(b−a)，这个证法直接得到ξ属于开区间(a,b)，对应积分中值定理的加强形式。

两种证法存在明确的适用差别，你可以对照表格选择：

f(x)仅可积但不连续时，积分中值定理结论不一定成立，比如存在有间断点的有界可积函数，无法找到满足等式的ξ，连续是这两个证明方法都不能去掉的核心前提。

不要直接用积分第一中值定理推广形式代替基础证明，推广形式多了一个非负权函数g(x)，推导逻辑更长，普通证明题不需要引入额外函数。

证明书写时，先写明已知条件，再逐条写出每一步依据，不要跳过最值定理、介值定理或者微积分基本定理的引用，阅卷会判定逻辑断层。

华东师范大学《数学分析》教材上册将基础积分中值定理放在定积分章节，加强版结论放在变上限积分之后，和上面两套推导顺序保持一致。