如何证明函数是否有界：4种实用判定思路

如何证明函数是否有界，核心定义是在指定定义域内，存在实数M＞0，让函数所有取值的绝对值都小于等于M，判定分为直接放缩法、极限判定法、单调性结合端点法、反证法四类，直接放缩法适合表达式容易因式分解、配方的初等函数，极限判定法只能用于区间端点或无穷远处极限存在的场景，不能用于震荡无极限的函数，单调性结合端点法仅适用于单调函数，反证法多用于证明无界，你拿到题目先锁定定义域，定义域不同，同一个函数的有界性结论通常会发生改变，例如1/x在(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界。

如何证明函数是否有界：直接放缩法

你从函数解析式出发，通过配方、三角不等式、分式放缩、有界函数乘有界函数仍有界这些结论，把|f(x)|放大成一个常数，找到这个常数M就能完成有界证明。sinx、cosx本身绝对值不超过1，属于天然有界函数，和多项式、分式相乘时，可以优先把三角函数部分单独剥离出来。遇到分式函数，你分开估计分子上界、分母下界，分母有大于0的固定下界时，整个分式更容易放大到固定常数。

找到M即可，不需要求出最小的M。

如何证明函数是否有界：极限判定法

闭区间上连续函数可以直接使用闭区间上连续函数有界定理，这个定理来自华东师范大学《数学分析》教材，在高等数学考试里属于高频依据。如果定义域是开区间或者无穷区间，你只需要验证区间所有端点、趋向无穷处的极限都存在，函数在这个区间上就有界；只要任意一处趋向极限为无穷大，函数就是无界。这个方法的短板很明显，当函数在某点震荡、极限不存在但也不趋向无穷时，极限判定法失效，不能下结论。

如何证明函数是否有界：单调性结合端点法

函数在区间上单调时，值域就是区间两个端点对应的函数值构成的区间，你只需要算出两端的函数值，比较大小就能确定函数取值范围，找到M。单调递增函数的最大值在右端点、最小值在左端点；单调递减函数的最大值在左端点、最小值在右端点。端点如果是开区间，函数取不到端点值，但极限存在，依然可以用极限值作为边界，判定有界。这个方法只适合单调函数，非单调函数不能单独使用这条规则。

如何证明函数是否有界：反证法证明无界

证明无界等价于证明有界的否定命题：对任意大的正数M，定义域内总能找到一个x，使得|f(x)|＞M。你一般会构造一串趋向定点或者无穷的自变量数列，代入函数后函数值趋向无穷，就可以完成无界证明。常见错误做法是只找一个点让函数值很大，单点无法证明无界，必须保证无论M取多大，都能找到满足条件的自变量。

同一个函数，定义域改动，有界性结论会变化，y=sin(1/x)在(0,1)上有界，y=1/x在(0,1)上无界，二者的区别在于取值范围是否能被固定常数约束。

多个有界函数做加减运算，结果依旧是有界函数；有界函数乘无穷小量，结果仍是无穷小，自然有界；有界函数乘无穷大量，结果一般为无界函数。

你做证明题时，第一步永远写明函数对应的定义域，定义域是判断有界性的前提，脱离定义域讨论函数有界性没有意义。