如何求一个矩阵的逆矩阵：主流方法对比

如何求一个矩阵的逆矩阵，常用方法有伴随矩阵法、初等行变换法、分块矩阵法，初等行变换法计算量更小，适合三阶及更高阶方阵，伴随矩阵法更适合二阶方阵快速口算，分块矩阵法只适合结构特殊的分块可逆方阵；只有方阵且行列式不为0的矩阵才存在逆矩阵，非方阵、行列式等于0的方阵没有逆矩阵，你拿到矩阵后要先判断行数和列数是否相等，再计算行列式做前置校验。

逆矩阵的前置判定

方阵指行数等于列数的矩阵，记为n阶方阵A，A的逆矩阵记作A⁻¹，满足A·A⁻¹=A⁻¹·A=E，E是同阶单位矩阵，主对角线元素全为1，其余位置都是0。你先计算方阵A的行列式|A|，|A|≠0时矩阵可逆，|A|=0时矩阵不可逆，也叫奇异矩阵。二阶方阵行列式计算简单，主对角线乘积减去副对角线乘积，高阶方阵可以用展开式或者初等变换求行列式，这个判定步骤不能省略，否则后续计算全部无效。

不可逆，直接停止计算。

伴随矩阵法求逆矩阵

伴随矩阵法公式是A⁻¹=(1/|A|)A*，A*是A的伴随矩阵，伴随矩阵由代数余子式矩阵转置得到。代数余子式Aᵢⱼ等于(-1)ⁱ⁺ʲ乘以去掉第i行第j列后子矩阵的行列式，把所有代数余子式按位置排成代数余子式矩阵，再交换行和列完成转置，就能得到伴随矩阵。二阶方阵的伴随矩阵有简化规律，主对角线两个元素互换，副对角线两个元素变号，不用逐个计算代数余子式，计算速度更快；三阶方阵使用这个方法会产生大量行列式运算，出错概率明显上升，一般不优先选用。

初等行变换法求逆矩阵

初等行变换法的操作形式是构造增广矩阵[A|E]，持续对整行做三类初等行操作：交换两行、某一行乘以非零常数、一行的倍数加到另一行上，目标是把左侧的A转化成单位矩阵E，变换完成之后右侧原来的E会同步变成A⁻¹。全程只能使用行变换，不能混入列变换，一旦混用行列变换，结果就不再是逆矩阵。计算过程里每一步变换都要同步作用在左右两侧，不要只处理左边矩阵而忽略右侧单位矩阵，这个方法是线性代数课程里推荐的通用解法，适合三阶、四阶方阵笔算。

不同求逆方法对比

分块矩阵法求逆矩阵

分块矩阵法把高阶方阵切分成多个低阶子矩阵，子矩阵之间互不交叉，对角分块方阵的逆矩阵，就是把每个可逆子块单独求逆之后，放在原来对应的分块位置上。比如对角分块矩阵diag(A₁,A₂)，逆矩阵就是diag(A₁⁻¹,A₂⁻¹)。这个方法不能随便拆分矩阵，只有分块之后空白区域全部为零矩阵的结构才能使用，普通无规律的方阵强行分块，得不到正确逆矩阵，很多教材习题会用这种结构降低计算难度。

验算逆矩阵结果

算出A⁻¹之后，直接用原矩阵A乘上求得的A⁻¹，得到的结果如果等于同阶单位矩阵E，说明计算结果有效；乘积里只要有一个位置元素和单位矩阵不匹配，就代表计算出错，优先回去检查初等变换步骤或者代数余子式符号。矩阵乘法顺序有要求，A乘A⁻¹和A⁻¹乘A都要等于单位矩阵，可逆方阵满足乘法交换性，你任选一个方向验算就可以。

浮点数值矩阵在计算机软件里求逆，会存在微小舍入误差，验算时允许极小数值偏差，笔算的精确有理数矩阵，验算结果必须严格等于单位矩阵。

非方阵不存在逆矩阵，只有伪逆，伪逆和逆矩阵定义不一样，不能套用上面的求逆公式。