实对称矩阵有什么性质：用于对角化计算

实对称矩阵有什么性质，核心可直接用于线性代数解题：矩阵转置等于自身，特征值全部为实数，不同特征值对应的特征向量相互正交，一定可以正交对角化，存在正交矩阵P使得P的转置乘A乘P等于对角矩阵，对角元就是A的全部特征值，k重特征值刚好有k个线性无关的特征向量，迹等于所有特征值之和，行列式等于所有特征值乘积，该套性质适用于实数域方阵，复数矩阵不适用，不能直接套用到复对称矩阵上。

实对称矩阵的基础代数性质

A转置=A是实对称矩阵的定义，矩阵里第i行第j列元素和第j行第i列元素相等，全部元素取自实数集合。你拿到一个方阵，先做转置对比，转置之后和原矩阵一样，才满足实对称矩阵的前提，不满足这个条件，后面正交对角化、特征向量正交等结论都不能直接使用。

实对称矩阵的任意次幂仍然是实对称矩阵，A的k次方转置等于A的k次方；如果A可逆，它的逆矩阵同样是实对称矩阵；两个同阶实对称矩阵相加之后结果依旧实对称，但两个实对称矩阵相乘，乘积一般不再是实对称矩阵，只有二者可交换相乘时，乘积才保留对称性。

实对称矩阵的特征值与特征向量性质

实对称矩阵所有特征值都是实数，计算特征方程的时候，不会出现共轭复数根，你求解出来的特征值不需要做复数化简，这是它区别于普通实方阵很关键的一点，普通实方阵可以有成对共轭复特征值。

属于不同特征值的特征向量彼此正交，正交代表向量内积等于0，普通方阵只能保证不同特征值的特征向量线性无关，无法保证正交。针对同一个k重特征值，能够找到k个互相正交的特征向量，所以实对称矩阵的几何重数等于代数重数，矩阵一定可以对角化，不存在亏损矩阵的情况。

正交对角化是实对称矩阵独有的高效手段，你可以把特征向量单位化、施密特正交化，组装成正交矩阵P，正交矩阵满足P转置等于P逆，不需要单独求逆矩阵，直接用转置参与运算，大幅降低二次型标准化、主轴变换的计算量。

实对称矩阵在二次型中的应用性质

二次型的矩阵默认取实对称矩阵，二次型标准化的本质就是对这个实对称矩阵做正交对角化，正交变换下，二次型保持向量长度、向量夹角不变，只有平方项，没有交叉项。正负惯性指数就是矩阵正特征值、负特征值的个数，惯性定理保证这个数量在可逆线性变换下保持稳定。

正定、负定、半正定、半负定矩阵都是特殊的实对称矩阵，判断正定可以看全部特征值大于0，也可以顺序主子式全部大于0，这两套判定方法可以互相验证，在优化、多元函数极值判别里经常使用。

复对称矩阵不具备这些结论，复对称矩阵特征值不一定为实数，特征向量也不一定正交，复数域内对应的对称矩阵体系和实数域分开，解题时只要矩阵元素含有虚数，就不能套用上面这套判定规则。

迹等于特征值之和。

实对称矩阵行列式等于全部特征值相乘，你做完特征值求解之后，可以用迹和行列式两个等式验算计算结果是否出错，这是考场里低成本校验答案的方式。