如何证明角平分线定理：三种主流证法

如何证明角平分线定理，优先选用面积法、作平行线构造相似法、正弦定理法；面积法无需添加复杂辅助线，适合初中课内答题，平行线法贴合相似三角形考点，正弦定理法适合高中快速推导；仅适用于三角形内角平分线场景，外角平分线不可以直接套用这三组证明步骤，需要单独调整辅助线。

角平分线定理证明：面积法

你先在△ABC中画出∠BAC的平分线AD，D落在BC边上，过D分别作DE垂直AB、DF垂直AC。

AD是角平分线，依据角平分线基础性质，DE与DF长度相等。

△ABD与△ACD拥有等高的两组面积表达式，面积之比等于底边AB、AC之比，同时面积之比也等于底边BD、DC之比，联立两个比例就能推出BD:DC=AB:AC，完成证明。

角平分线定理证明：平行线相似法

延长BA，再作CE平行于AD，两条线交于E点。

由平行线内错角相等，∠BAD=∠AEC，∠CAD=∠ACE；又因为AD平分顶角，∠BAD=∠CAD，所以∠AEC=∠ACE，△ACE为等腰三角形，AE=AC。

△BAD与△BEC构成相似三角形，对应边成比例，BD:BC=AB:BE，拆分线段后替换AE=AC，直接得到BD:DC=AB:AC。

角平分线定理证明：正弦定理法

在△ABD与△ACD里分别套用正弦定理。

∠ADB与∠ADC互为补角，二者正弦值相等；两组角平分线分出的角大小相等，正弦值也相等。

把两组正弦定理式子做除法，抵消相等的正弦项，化简后直接得到BD:DC=AB:AC。

这三种证明都只针对三角形内角平分线。

如果是外角平分线，平行线辅助线要改成反向延长，比例等式保持不变，但推导过程不能直接照搬内角版本。