如何证明角平分线定理：两种主流证法

如何证明角平分线定理，初中考场优先选用面积法，步骤更少、辅助线简单，其次可以用作平行线构造相似三角形完成推导；面积法只需要作两条垂线，不需要证明三角形相似，适合没有学习相似知识点的初一学生，构造平行线法适合初二已经掌握相似判定的学生，两种方法都只适用于三角形内角平分线，外角平分线不能直接套用这两组推导步骤。

角平分线定理证明：面积法

已知△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，求证AB:AC=BD:CD。

你过D点分别作DE⊥AB、DF⊥AC，AD是角平分线，依据角平分线基础性质，DE与DF长度相等。

先计算△ABD与△ACD的面积之比，以AB、AC为底边，两个三角形高相等，面积比等于底边之比，也就是S△ABD:S△ACD=AB:AC。

再换一组底边，以BD、CD为底，两个三角形共用从A点向BC作出的高，面积比等于底边长之比，也就是S△ABD:S△ACD=BD:CD。

两组面积比值相等，直接等量代换，就能得到AB:AC=BD:CD，定理得证。

角平分线定理证明：构造平行线法

同样以△ABC、角平分线AD为已知条件，你过C点作CE平行于AD，交BA的延长线于E点。

由平行线内错角相等，∠CAD=∠ACE；同位角相等，∠BAD=∠AEC；AD平分∠BAC，∠CAD=∠BAD，由此推出∠ACE=∠AEC，△ACE为等腰三角形，AE=AC。

AD∥CE，△BAD与△BEC构成相似三角形，对应边成比例，BD:DC=BA:AE。

把AE替换成相等的AC，就得到BD:DC=AB:AC，完成证明。

两种证法对比

面积法不能直接用于外角平分线证明，外角平分线需要重新调整辅助线，这是该证法明确的使用边界。